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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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7. Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
f) ∑n=1∞(−1)n(1−1n)n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}

Respuesta

Arrancamos estudiando la convergencia absoluta: ∑n=1∞∣(−1)n(1−1n)n∣=∑n=1∞(1−1n)n \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}

En este caso el término general no tiende a 00 cuando n→∞n \rightarrow \infty, por lo que esta serie no cumple la condición necesaria de convergencia. Por lo tanto, nuestra serie no converge absolutamente. 

Estudiamos ahora la convergencia condicional usando el criterio de Leibniz.  ∑n=1∞(−1)n(1−1n)n \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} Ahora podemos estudiar la convergencia condicional de la serie que nos quedó usando Leibniz, donde en este caso an=(1−1n)n a_n = \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} . Veamos si se cumplen las condiciones del criterio: lim⁡n→∞(1−1n)n=1e\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} = \frac{1}{e} ❌

Ya no cumple el primer item del criterio de Leibniz, por lo tanto, esta serie tampoco converge condicionalmente.
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