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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
f) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}$
f) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}$
Respuesta
Arrancamos estudiando la convergencia absoluta:
$
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}
$
Reportar problema
En este caso el término general no tiende a $0$ cuando $n \rightarrow \infty$, por lo que esta serie no cumple la condición necesaria de convergencia. Por lo tanto, nuestra serie no converge absolutamente.
Estudiamos ahora la convergencia condicional usando el criterio de Leibniz.
$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}
$
Ahora podemos estudiar la convergencia condicional de la serie que nos quedó usando Leibniz, donde en este caso \( a_n = \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \). Veamos si se cumplen las condiciones del criterio:
\(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} = \frac{1}{e}\) ❌
Ya no cumple el primer item del criterio de Leibniz, por lo tanto, esta serie tampoco converge condicionalmente.